デデキント カット。 つまりデデキントさんの切断とはどういうことですか?

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デデキントの切断 Dedekind Cut Schnitt と定理(公理) 数直線の棒を途中で切った時に、左側の棒にある数を全て、どの右側の棒にある数より小さく切断できるとし、このような切断をする時に、切断の切れ目に対応する実数値が1つあり確定することを証明なしに公理的に導入することから話がはじまります。 実数全体を、以下のような2つの集合A 左側の棒に含まれる実数の集合 と、B 右側の棒に含まれる実数の集合 に分離することをデデキントの切断と呼んでいます。 (デデキントの定理) 切断により確定する実数値はAまたはBのいずれかに含まれ、Aの最大値 Bに最小値なし またはBの最小値 Aに最大値なし となります。 例えば、数直線を途中で切断して実数値1が確定したとします。 1のところで切ったわけですから、Aには1より小さい数、Bには1より大きい数が含まれ、Aに含まれる全ての数は、Bに含まれるどの数よりも小さくなります。 この時、実数値1はAまたはBのいずれかに含まれることになります。 ところで、Bに含まれる場合、数直線の切断面の右側に1があるわけですが、左側のAには何が見えるでしょうか?Aは最大値を持たないので、0. 999999・・・・と限りなく続く様子、実際には途中までしか確認できないでしょうけれど、合わせ鏡の中に映る像のように、数字9の限りなく続く様子が見えるのでしょうか。 逆に左側のAに1が属している場合、切断面右側のBには何がみえるのでしょうか?この場合、Bには最小数がないので、1. 00000・・・・と無限に続くゼロが見えることになるのでしょうか。

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つまりデデキントさんの切断とはどういうことですか?

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先日の記事「」では、 有理数全体を大小2つの組へと「切断」する分割点が実数である、というデ デキントの議論を援用しながら、カントールの対角線論法を見た。 今回は、 デデキントの 「切断」自体をメインにして、無理数の定義と存在証明につい て考えてみよう。 前回同様、参照するのはデデキントの論文「 連続性と無 理数」(1872)。 邦訳 論文集『数について 連続性と数の本質』(河野伊三郎 訳,岩波書店)に収められた二篇の内の第一篇だ。 例えば0.5(= 1/2)という有理数なら、「0.5以下の有理数全体と、0.5より大きい有 理数全体」という切断がひき起こされるし、「0.5より小さい有理数全体と 0.5以上の有理数全体」という僅かに異なる切断もひき起こされる。 前者 の切断では0.5がいわゆる「上限」、後者の切断では0.5が「下限」だ。 以下では、 小さい有理数の組を「小組」、大きい有理数の組を「大組」と呼 ぶことにしよう。 また、デデキント自身は「切断する」という動詞形の表現 を使ってないけど、簡単のため、切断(=組分け)を引き起こすことを「 切 断する」などと呼ぶことにしよう。 動詞表現も認めるということだ。 今、 正の 整数であって、整数の平方ではない、Dという数を考えてみる。 例えば、2, 3,5などだ。 このDを使えば、「2乗するとDより大きくなる正の有理数全 体」(大組)と、「それ以外の有理数全体」(小組)とに 切断できる。 ここで もし、2乗するとDに等しい正の有理数が存在するなら、その数は 小組の上限であって、上のような 切断を引き起こすことが出来る。 しかし、 2乗するとDに等しい有理数は、 実際には正負に関わらず存在し ない。 この証明は、高校数学レベルだから省略してもいいのだけど、なぜ か デデキントがやや 珍しい証明をしてるから、一応見ておこう。 原文はか なり省略されてるので、ここでは大幅に補足しておく。 文字や式の書き方 は変えてないので、訳書のp.22~p.23と照らし合わせることも出来る。 今、仮に 2乗するとDになる有理数が存在するとしよう。 これは、t/uに関する条件、「uはできる限り小 さい数」と 矛盾する。 したがって、 2乗するとDになる有理数は存在しない。 すると、 「小組」には最大数がないし、 「大組」には最小数がないことに なる。 例えば、小組の最大数の候補として、正の数 x を選んだとしよう。 結局、小組の最大 数は存在しない。 また、大組の最小数の候補として正の数xを選んだとしても、上と同じy を用いれば、同様の流れで、yがxより小さい大組の有理数であることが 分かる。 結局、大組の最小数も存在しない。 したがって、この 小組・大組を切断(=組分け)した数は、有理数ではな いから、 「無理数」と名付け、この切断によってただ一つ定義する。。 天才的な直感で思い付いたのかも知れないけど、おそらく近似式とか有 理解に関する理論を使えば導けるのだと思う。 いずれその辺りも勉強し て、なるべくロジカル(=論理的)に導出したいものだ。 普通なら、ここは次のような流れで考える所だろう。 実際、有理数(有限小数+循環する無限小数)と無理数(循 環しない無限小数)を合わせると、連続的な図形である「数直線」全体が 埋め尽くされるような気がするから、それ以上はみんな気にとめない。 それに対して、 デデキントの発想は全然違うのだ。 まず、全体を2つに切 断(=組分け)する時の分割点がただ一つ存在する、ということを、数の 連続性の本質として、有理数だけでは連続性が保てないことを示し、そ の隙間を埋め合わせする数として無理数を定義する。 無理数を、循環しない無限小数として考えるのと、デデキント切断で考え るのと、比べてみると、それぞれ長所・短所はあるだろう。 何と言っても、 前者の方が単純明快だ。 けれども何らかの事情で、無理数かどうか、あ るいは実数かどうかが微妙な時(例えば前に対角線論法で作った数 a)、 切断が役立つことはあるだろう。 そしてその方法だと、対角線論法に関する奇妙な疑問 (前に作った数bが自然数かどうか)が鮮やかに解決したわけなのだ。 デデキント切断については、また触れると思うし、彼の自然数に関する考 察(論文集の第二篇)も扱いたいと思ってる。 ただ、マニアックな話が続い てるので、もう少し普通の話や、誰でも分かる簡単な話を、しばらく優先す るかも知れない。 例えば、小学校の算数や中学校の数学には、以前から 興味を持ってて、教科書も買ってるのだ。 とりあえず、今日の所はこの辺で。。 さて、その後もいろいろとググっていたところ、デデキントの証明を少し変形したものを見つけました - 上記サイトには何と19種類もの「ルート2が有理数でないこと」の証明が載っており、その17番目に、Yoram Sagherという方が「ピタゴラスもできたはずのこと」と題して、アメリカの数学誌「American Mathematical Monthly」に投稿した記事の抜粋が書いてあります。 こちらのほうが、著者がそのオリジナルの記事で「代数を1年しかやってない高校生にもわかりやすく、... しかも素数の性質を使ってないのでピタゴラスやセオドラスでもできはたず」と言っているように、私にもわかりやすく、デデキントの証明よりも簡単だと思います。 ところが、ここでも次の命題を証明なしで使っています: 「kが自乗数でない場合には、q<m/n<q+1を満たす整数が存在する。 」 あたりまえのことのように思えるのですが、私にはこれを厳密に証明することができません。 頭痛が治って気が向いたらコメントでもください。 投稿: tetsu 2011年11月27日 日 21時44分 > tetsu さん はじめまして。 コメントありがとうございます。 マニアックな内容でありながら、柔らかい語り口と 温かいお気遣い。 2つは実質的に同じものですね。 したがって、元の命題だけを考えましょう。 前後の文脈から切り離した文体へと、微調整しときます。 普通は当たり前として済ませる所だと思いますが、 「厳密に証明」したいわけですね。 どの程度の厳密さをお求めなのか、正確には 分かりませんが、こんな感じで如何でしょうか。 (証明) 前提より、Dは2以上の整数。 Dより小さい正の整数全体の集合をSとすると、 Sの要素には少なくとも一つの平方数1が存在する。 よって、Sの中で最大の平方数は確かに存在する。 この平方数は確かに存在する。 一方、それは平方数だから、D自身でもない。 (証明終) デデキント的な「切断」の発想を活かした簡単な証明です。 もっと厳密に証明するなら、前提となる公理や 定義などをあらかじめ明示する必要があるでしょう。 ただ、一般にそこまで遡って厳密に論理構成する証明は、 数論や集合論の最も基礎的な議論でしか見かけませんけどね。 この程度でもし満足して頂ければ幸いです。 疑問があるようでしたら、お聞かせください。 ただし、私は単なる理屈好きの総合マニアック・ブロガー であって、数学の専門家ではありません。 その点、悪しからずご了承を。 ケガのご心配まで頂き、どうもでした。。 投稿: 2011年11月28日 月 02時38分 テンメイさま、 証明どうもありがとうございました。 非常に満足しています。 すべての自然数nに対して成り立つというのをどう処理するかがまったくわかりませんでした。 もとはといえば、Rudinと高木を読み始めたところ、デデキントの切断の定義が異なっていたので、もともとはどうだったのかなと思い、デデキントの英語版のテキストをダウンロードして読んだところ、見たことがない無理数の証明があったので調べだしたのでした。 テンメイさんの関心分野の多様さにはただただ驚くばかりです。 どうもありがとうございました。 投稿: tetsu 2011年11月29日 火 11時15分 > tetsu さん こんばんは。 再びコメントどうもです。 満足して頂けたようで、良かったです。 それはいいとして、論理記号の使い方。 これは、人によって少しずつ違ってます。 もちろん、書き方や読み方の定義にもよりますが、 私なら例えば、次のように書きます。 「¬」は「・・でない」、つまり「not」の意味で、 直後の一まとまりの命題を否定します。 書くのも読むのも面倒ですが、カッコを多用することで、 まとまりの単位を明示します。 お書きになったものと比べてみて下さい。 それにしても、ずいぶん熱心に勉強されてるんですね。 私は関心分野が広過ぎて、どれも手抜きになってますが、 これまでの人生の反動とも言えます。 子供の頃から「狭く深く」を優先して色々ガマンして来たので、 一気に「広く浅く」へと反転してる感じです。 それがまた、ブログ運営と合ってるんですよね。 書くネタに困らないし、色んな人と出会えます。 ただ、数学は昔から特別に好きだったので、 今後もわりと優先していくつもりです。 歴史的原点(=古典)と、教育的原点(=教科書)を じっくり読み込んで行きたいですね。 有限の時間の中で。 わざわざご丁寧に、どうもでした。。 たとえば、教科書。 私はアメリカに住んでいるのでどうしてもアメリカの教科書と、私が日本で使ったそれらを比較してしまいます。 それに職業観、人生観、いずれも非常に異なっており、両者の境界をうろつく私としては、おもしろくてたまりません。 投稿: tetsu 2011年11月30日 水 20時36分 > tetsu さん こんばんは。 度々どうもです。 次の「デデキントのお題」も、その通りです。 ちなみに個人的には、まとめる書き方は使いません。 蛇足の感もありますが、イメージ的に分かりやすく するために、簡単な数式変形の喩え話をしてみましょう。 後で、他の方も読むでしょうからね。 そんな感じの話をしてる訳です。 限定をハッキリさせるため、二重カッコを使いました。 これなら、D=1は正しく排除されます。 話は変わりますが、日米の違い、一般的に言うなら、 共同体の違いは面白いですね。 日本では、原発関連で、九州電力の「やらせメール」問題が 話題になりました。 身内を使った世論偽装と言われてます。 ところが、「アメリカでは問題ない」という話を 朝日新聞で読んで、なるほどと考えさせられました。 身内の社員も世論の一部だし、自分の会社を 応援することが違法とは限りませんからね。 所属する共同体にせよ、論理的条件にせよ、 一般に前提的なものの扱いは難しいと思います。。 なお当サイトでは、同一記事でのコメントのやり取りは、 原則として、お一人2往復半まで、つまり3回目の コメントまで(最後のレスは省略)と決めてます。 時間とパワーの制約のため、またヒートアップ回避のためです。 今回は既に3往復、しかも中身の濃いやり取りなので、 これにてひとまず終了とさせて頂きます。 悪しからずご了承ください。 ご丁寧で内容のあるコメント、どうもでした。 それでは。。 投稿: 2011年12月 2日 金 03時52分.

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デデキントカットで1の地点を切断してみます。 実数は有理数のデデキントカットで定義できる。 有理数をデデキントカットすると実数が作れる。 これは予備知識で持っているとして話を進めます。 有理数は実数に含まれると考えることができますから、有理数もデデキントカットの形で表すことができるはずです。 いうまでもなく、有理数の地点でデデキントカットしたのがデデキントカットでできた実数に含まれる有理数です。 すなわち、1は有理数なので(2)または(3)の形で表現されているはずです。 999…が無理数だとするとデデキントカットは? 0. 999…が有理数か無理数かすぐにわかるでしょうか? もし、0. もし、0. 999…って一体どんな数なんでしょうかね。 999…で定義します。 上で定義した切断 A,B はデデキントカットになっています。 999…]に属しています。 PV数ランキング• 166,560pv 高校で習う微分と積分は、数学の中でもかなり高レベルな内容です。 言葉や公式は知っていても、なんか実感がわかないと思うのなら、 次の例えで微分と積分を考えてみ... 133,092pv 自然数 小学校で最初に学ぶ数が自然数です。 小学校で最初にどのような数を学んだのかというと、1、2、3、・・・とまずは10までなんども唱えて覚えたことと... 96,456pv よく数学を教えて欲しいという友達が言うことがあります。 簡単なものほど難しい。 59,869pv 素数とは何か? Wikipedeiaに2通りの素数定義があります。 どちらも意味は同じです。 素数(そすう、英: prime number)とは 定義そ... 50,922pv.

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